Aproximaciones a la idea del número áureo en la música

Por Arbaris von Nëgal

Lo primero que es conveniente establecer antes de entrar en cualquier tema, son las premisas y definiciones que sustentarán su desarrollo subsecuente. De este modo, con el fin de poder hablar de la música en cuanto a su estructura matemática, debemos primero entenderla como una organización estética del fenómeno sonoro; es decir, una articulación u ordenamiento bello del sonido, en forma de discurso en el tiempo. En consecuencia, no toda expresión sonora constituye música, sino aquella que posee una estructura coherente y lógica, así como elementos estéticos definidos tales como armonía –tanto sonora como estructural--, simetría, etc. 

Por lo tanto no es la música en sí misma lo que analizaremos en primera instancia, sino su materia prima: el sonido, por lo que debemos ir todavía más hacia lo fundamental, hacia el fenómeno sonoro mismo, para entender su estructura física y matemática, que es la que en última instancia gobierna las jerarquías de sonidos en los cuales se basa prácticamente todo el discurso musical del ser humano.

Físicamente, el sonido que escuchamos a través de nuestros oídos es resultado del fenómeno ondulatorio que se produce al estimularse las moléculas de aire. En otras palabras, cualquier evento que altere el movimiento de las moléculas de aire generará una onda longitudinal, la que será percibida por nuestros oídos como sonido. Por supuesto nuestro oído es limitado en su espectro de escucha; sólo ciertas frecuencias de ondas son audibles para el oído humano (aproximada mente entre los 19 Hz y los 19 kHz en una persona sana, correspondiendo cada hercio como equivalente a una ondulación completa por segundo), mientras que otras quedan fuera del espectro. 

Es en esta estrecha franja en donde acontece todo nuestro universo sonoro, incluida la música. Ahora bien, las ondas que se producen en el aire no son visibles para nuestros ojos, pero una analogía recurrente es la de parangonarlas a las ondas que se producen en la superficie del agua cuando dejamos caer una piedra. El problema de esta analogía es que omite el hecho de que el sonido se desplaza en el aire en ondas longitudinales, a diferencia de las ondas que se producen en la superficie del agua que son transversales (y recalco “en la superficie”, ya que las ondas que ocurren bajo la superficie son también longitudinales, como en el aire).


El órgano del oído, a través de un sistema mecánico muy sofisticado de huecesillos y membranas, es capaz de captar estas ondulaciones del aire y transformarlas en impulsos nerviosos que el cerebro puede interpretar. Como se verá, es lo en este aspecto que la audición es pasiva. Lo cierto es que prácticamente todo el universo sonoro al que estamos expuestos día a día, y por toda nuestra vida, es principalmente un fenómeno de la percepción y de la consciencia; una construcción de nuestro cerebro. Si aislamos y descontextualizamos el material bruto que entra por nuestros oídos, nos daremos cuenta de que el trabajo de organización que realiza nuestra percepción es admirable. Es nuestro cerebro, o nuestra consciencia, la que en realidad nos permite escuchar música, mucho más que nuestros oídos. La música en realidad ocurre más bien “adentro” que “afuera”, por lo tanto la escucha es mucho más activa de lo que nosotros podríamos creer.

Esta cualidad constructiva de la percepción, es tremendamente relevante a la hora de entender el otro aspecto fundamental a la hora de poder percibir y apreciar la música: la memoria. Los eventos sonoros serían completamente inconexos y carentes de organización y sentido, de no ser por la capacidad de nuestra consciencia de ordenar eventos aislados en el tiempo en un todo coherente. Es gracias a la memoria que podemos escuchar a Bach o a Beethoven, por ejemplo, ya que sin ella no seríamos capaces de apreciar la arquitectura sutil que da sustento a un discurso musical extenso, como un concierto o una sinfonía. Cuando escuchamos las Suites para violonchelo o la Quinta Sinfonía, oímos un gran y maravilloso viaje, pero dicho viaje está construido a partir de muchos pequeños eventos o estímulos sonoros, que articulados por la maestría del compositor, nos dan la ilusión de continuidad. Si no pudiéramos unir una nota con otra en nuestra memoria; si no pudiéramos recordar más a allá de unos pocos segundos de sonido, jamás seríamos capaces de apreciar música alguna. 

La música no es, por lo tanto, un fenómeno inmediatamente sonoro, o dicho de otra manera, no es música todo lo que suena. El sonido es la base, sí, pero es la consciencia la que construye la sinfonía en nuestra memoria (de hecho la palabra “sinfonía” significa justamente eso: sonidos organizados en conjunto).

Dicho esto, pasemos ahora a analizar la naturaleza acústica del sonido y su relación con la creación musical, para poder finalmente adentrarnos en el tema de fondo: cómo podemos relacionar la proporción áurea a la creación musical, y saber si dicha relación es intrínseca a la naturaleza del sonido, o si por el contrario se trata de un vínculo artificial.

Para poder hacer música debemos organizar los sonidos de alguna manera, debemos ordenarlos. El ser humano lo ha hecho a través de lo que conocemos como la escala musical. En este punto, es donde por primera vez se tocan la naturaleza del sonido con el ingenio humano para comprenderla. Durante mucho tiempo se pensó, principalmente gracias a ciertas corrientes de pensamiento posmodernistas, que la escala musical era más bien arbitraria, un fenómeno casi del azar, y que así como la escala diatónica tiene 7 sonidos, bien podría haber tenido más o menos. 

Pero lo cierto es que eso está muy lejos de la verdad. La estructura de la escala musical diatónica (así como de otras escalas musicales) no es en realidad algo arbitrario, sino que responde a una construcción que ha sido hecha a partir los armónicos, que son los bloques constitutivos de todo sonido que escuchamos.

Así como la luz puede descomponerse en un espectro visual de colores (que curiosamente también son 7, como las notas de la escala diatónica), cada sonido que escuchamos puede descomponerse en un espectro armónico. Es decir, dentro de la nota de, por ejemplo, la cuerda de un violín, existen más “notas”, que son las que le dan al violín su sonido característico. Ese fenómeno es el que conocemos como “timbre”. Estos armónicos son una serie de notas que se elevan por sobre la nota que se puede escuchar, llamada “fundamental”, siguiendo un patrón matemático muy preciso, y para nada arbitrario. Dicho de una manera coloquial, así como dentro de la luz hay colores, dentro de las notas hay más notas.

A continuación se puede apreciar dos representaciones de los armónicos, un espectrograma computarizado y notación musical occidental:


Complementariamente, acá podemos ver y oír dos ejemplos; el primero, el espectrograma de varias notas de un violín (cada nota está representada como un segmento en el eje horizontal, mientras que los armónicos están representados por la serie de barras superiores, que disminuyen en intensidad) y la serie armónica en un osciloscopio, donde vemos la onda y escuchamos cómo suena:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d1/Violin_for_spectrogram.ogg

https://www.youtube.com/watch?v=8KgtQHbQnDk

Es en base a esta estructura sonora —los armónicos de una nota— que está construida la escala diatónica de 7 sonidos, y que partiendo desde do se construye así: 

La serie armónica era probablemente conocida de muchos pueblos de la antigüedad, pero en nuestra cultura occidental a quienes le debemos el primer estudio acabado de la serie armónica y de la estructura física del sonido es a los pitagóricos, quienes descubrieron que cortando en distintos puntos la vibración de una cuerda tensada, iban obteniendo sonidos ordenados, llamados intervalos, que siempre estaban en relación con la nota original o fundamental. Aquí tenemos un ejemplo audiovisual de ello:

https://www.youtube.com/watch?v=Wf0mZ42Kf7w

El punto en donde la cuerda no está vibrando se conoce como “nodo”. Cuando la cuerda vibra libremente, los únicos nodos son los nodos triviales, los cuales serían los extremos de la cuerda. Por lo tanto consideramos que una cuerda que vibra al aire no tiene nodos. Si hacemos el ejercicio de colocar, en cualquier cordófono, suavemente el dedo justo en la mitad de la longitud de la cuerda, obtendremos el primer armónico, que corresponde a la octava, es decir, a la partición de la onda, por lo tanto del sonido resultante. Allí, la cuerda tiene solo un nodo, justo al medio. 

Si colocamos el dedo a un tercio de la distancia total de la cuerda, se generarán naturalmente dos nodos, uno donde colocamos el dedo, y otro por simpatía en el tercio opuesto de la cuerda. Y así sucesivamente, siguiendo una serie numérica dada por la siguiente fórmula:

Esta es la razón por la que esta serie es conocida en matemáticas como la serie armónica, ya que está directamente relacionada con la distribución de los armónicos (también llamados parciales) que forman el espectro de una nota musical. Además, como objeto matemático esta serie tiene propiedades muy interesantes, que merecen análisis aparte, pero que se fundamentan principalmente en los descubrimientos del matemático suizo Leonard Euler —llamado a veces el Mozart de las matemáticas, quien además fue un gran estudioso de la música, llegando hasta a escribir un tratado de teoría músico-matemática. 

Estas relaciones tan estrechas entre música y matemáticas fueron reveladas para nuestra era por los pitagóricos, quienes consideraban que la estructura armónica del sonido estaba íntimamente relacionada con la estructura armónica del Cosmos; es decir, del Orden universal. Así, las relaciones que existen entre los armónicos y los intervalos musicales, representan matemáticamente el Drama del Cosmos, es decir, cómo fue ordenado el universo a partir del Caos. 

Para exponerlo muy sucintamente, los números para los pitagóricos no eran cantidades, sino arquetipos. No se trataba para nada de nuestros números contables, sino de números divinos, sagrados, y se los construía geométricamente en lugar de aritméticamente. Por ejemplo, el 1 era la Mónada, el Todo absoluto indiferenciado e incognoscible. El Drama del Cosmos comienza con la partición de la Mónada, con la que aparece la Díada, que podríamos corresponder para mayor claridad con el número 2. Claramente, el 2 no emerge del 1 por adición, sino por partición, por lo tanto no estamos tratando con los números aritméticamente, sino de forma geométrica. Las sucesivas particiones generan los siguientes números: La Triada, la Tétrada, la Péntada, la Héxada, etc. Cada uno de estos números correspondía a un arquetipo, lo que ellos llamaron un “logos”, o sea, una relación, una razón matemática. Estas razones los pitagóricos las clasificaban como conmensurables (para Euclides, dos segmentos, ab , son llamados conmensurables precisamente si hay un tercer segmento, c, que puede ser usado una cantidad de veces entera para producir un segmento congruente a a, y otra cantidad de veces también entera para producir un segmento congruente a b) e inconmensurables (los que no podían ser de esa manera expresados). Como vemos, los pitagóricos se expresaban siempre en términos geométricos. Solo mucho más tarde vino el concepto aritmético de racionalidad/irracionalidad, en el cual un número es racional cuando puede ser expresado como una razón (fracción) a/b, mientras que es irracional cuando no puede ser expresado de esa manera.

Es un error en ese sentido la noción de que los pitagóricos no conocían los inconmensurables. Claro que los conocían, pero dado que los pitagóricos eran una sociedad iniciática y jerárquica, los inconmensurables no eran conocidos para los grados inferiores, sino solo de los grados superiores, ya que constituían un misterio mayor. La leyenda de que los pitagóricos habrían asesinado a Hípaso de Metaponto por el hecho de éste haber descubierto el inconmensurable de la diagonal de cuadrado (raíz de 2), cosa que supuestamente echaba por tierra la noción de los pitagóricos de que el mundo podía ser descrito por los conmensurables, es fruto simplemente de la ignorancia e incomprensión acerca de qué querían decir realmente los discípulos de Pitágoras con aquel aserto. 

Como vemos, música y matemática están estrechamente ligadas desde un comienzo, ya que la naturaleza del sonido ha sido el punto de partida para la creación de los sistemas de ordenación musical. 

Recapitulando, nos damos cuenta de que la serie armónica, presente en toda nota musical que escuchamos, posee un orden intrínseco de los sonidos, gobernado por leyes matemáticas de proporción. Ello constituye el corazón de nuestro artículo. Es este orden acústico de los armónicos lo que ha generado la escala diatónica antes descrita, que consiste de 7 notas de do a si, 8 considerando la octava de do. Ahora bien, la forma en que se organizó la escala fue a través del transporte de los armónicos superiores al intervalo de la primera octava, ya que por naturaleza los armónicos se distribuyen en un ámbito muy amplio. Los primeros intervalos de la serie, y los más importantes, son la octava, la quinta justa y la cuarta justa. Estos intervalos representaban para la escuela pitagórica, respectivamente: la Díada, o partición de la Mónada, la Triada, o la reunificación, y la Tétrada, que es la duplicación de la Díada. Por lo tanto, aquellos intervalos pasarían a constituir los fundamentos de la armonía musical occidental, tanto así que en el sistema armónico clásico-romántico constituyen los llamados grados principales de la escala, es decir, I, IV y V, que son los que se utilizan para generar las cadencias; relaciones armónicas de tensión y distensión.

El criterio para efectuar las transposiciones de los armónicos superiores consistía en utilizar estos  mismos intervalos principales (la quinta justa en específico), para ir agregando más notas. Así, la quinta de do, es sol, pero la quinta de sol es re, que transportado a una octava descendente queda a continuación del primer do. Cuando una nota va a continuación de la otra en un intervalo de segunda, se le denomina por “grado conjunto”. Así, de la relación entre las quintas, por transposición a grado conjunto, aparece la escala diatónica que conocemos, pero también se genera un fenómeno aún más bello e interesante: la aparición del círculo de quintas.

El círculo de quintas es una estructura muy bella e interesante, ya que expresa teóricamente la belleza y la simetría que emerge de la quinta justa, el segundo de los intervalos perfectos, por lo que merecería un análisis mucho más profundo del que me es posible darle aquí. Baste decir por ahora que siguiendo las notas en sentido horario tenemos los intervalos de quinta, y en sentido anti-horario los intervalos de cuarta. Llegado a un punto, nos damos cuenta de que para completar el círculo necesitamos alturas, o notas, que no están en la escala diatónica de 7 sonidos (lo que conocemos como las teclas blancas del piano, por ejemplo). Allí nos vemos en la necesidad, para completar el círculo, de recurrir a nuevas alturas, y subir o bajar medio tono algunas de las notas preexistentes. Es allí donde hacen su aparición los sostenidos, cuando vamos por las quintas, o los bemoles, cuando lo hacemos por las cuartas (ambas alteraciones representadas por las teclas negras del piano). Esto nos permite completar el círculo y tener los 12 sonidos de la escala cromática moderna (teclas blancas y negras del piano). 

Luego de los primeros intervalos antes mencionados como principales, la 8ª la 5ª y la 4ª, aparecen otros como la 3ª mayor, la 3ª menor, y la 2ª, con sus inversiones (6ª y 7ª). Con este edificio conceptual se ha construido toda la tradición musical occidental. 

Ahora que ya hemos logrado establecer, a través de las matemáticas, el vínculo entre física del sonido y la teoría musical, podemos pasar a analizar otro de los números inconmensurables: el número Phi, o Número Áureo; para finalmente ver cómo esta divina proporción también está presente los intervalos musicales principales.

Para hablar del Número Áureo, lo mejor es partir por la mejor definición de todas, la del Maestro Euclides:

Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.

Euclides, Los Elementos, Definición 3 del Libro Sexto.

Como vemos, en términos geométricos el inconmensurable es denominado “la extrema y media razón”, y es inconmensurable porque dicha razón no puede ser expresada como un segmento, sino como infinitos segmentos cada vez más pequeños. Dicho en términos numéricos, la Razón Áurea no puede ser expresada como una fracción o una razón del tipo a/b. En el siguiente diagrama podemos ver la definición de Euclides graficada:

Como podemos apreciar, y por decirlo con otros términos, la relación que existe entre la longitud del segmento y la del segmento a, es la misma que existe entre el segmento y el total del segmento, o sea el segmento a + b. Esta relación es de importancia capital, tanto para el estudio de la matemática sagrada como vulgar, y no por nada se han escrito miles de páginas acerca de sus muchas aplicaciones e implicaciones a lo largo de los siglos. Una de las más misteriosas es la relación entre la Razón Áurea y la Péntada, expresada geométricamente como el pentágono regular inscrito, así como su vinculación con el inconmensurable raíz cuadrada de 5. Recordemos que la ecuación algebraica que define el Número Áureo es la famosa:

Cuya derivación es de lo más interesante, ya que involucra la fórmula cuadrática, pero sobre la cual no podemos extendernos aquí. El lector interesado puede recurrir a https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo entre otras fuentes.

Si bien no podemos extendernos mayormente en la investigación de la Razón Áurea, una de sus tantas relaciones misteriosas, y que la vincula con la música, es la que tiene con otro misterioso objeto matemático: la Serie de Fibonacci. La sucesión comienza con los números 0 y 1; a partir de estos, “cada término es la suma de los dos anteriores”, es la relación de recurrencia que la define. En el diagrama siguiente, muchas veces reproducido pero pocas veces comprendido, podemos ver la Serie expresada en términos matemáticos y geométricos. La famosa Espiral de Fibonacci, está dada por la generación de cuadrados de lado Fibonacci. En este caso se trata de cuadrados de lado: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34. 

Ahora bien, lo curioso y bello de esta figura, es que genera por sí misma rectángulos áureos, es decir, rectángulos en que la proporción entre sus lados sigue la Razón Áurea. Si se dibujan arcos de círculo inscritos con la medida de los lados de cada cuadrado, éstos se unen formando la famosa espiral, que se puede encontrar en incontables ejemplos en la naturaleza, desde caracolas hasta galaxias.

Mucho ha sido dicho y escrito en cuanto a la relación entre el Número Áureo y la belleza, sobre todo en cuanto a la belleza visual, pero poco se ha dicho en cuanto a su relación con la belleza en el sonido, en la música. Varios compositores hicieron uso deliberado de tales proporciones en sus obras, entre ellos Bach y Bartók, pero de sus trabajos hablaremos un poco más adelante. Por lo pronto veremos una curiosa relación entre los armónicos del sonido, los intervalos principales, la Serie Fibonacci y, por extensión, la Razón Áurea.

De más está decir que relaciones arbitrarias y muchas veces espurias se pueden establecer entre la música y cualquier serie numérica, por lo que muchos de los intentos que se han hecho y que se pueden encontrar en internet, por ejemplo, responden simplemente a asignar valores de la Serie Fibonacci o de la expansión decimal del Número Áureo a notas musicales específicas, lo que no es para nada a lo que nos estamos refiriendo. Nos estamos refiriendo a un vínculo que no tiene que ver con asignaciones arbitrarias tales como esas, sino con propiedades intrínsecas del sonido. Además es una relación que es independiente del sistema numérico que se esté utilizando. 

Como vimos más arriba, las notas musicales pueden ser expresadas como razones matemáticas, las cuales, aunque parten de la cuerda vibrante, pueden aplicarse a cualquier sonido con altura, como el de un instrumento de viento o uno de percusión afinado. Desde luego también puede aplicarse a la voz. Y dado que la música, en un aspecto fundamental, sería la articulación de estas relaciones en el medio sonoro, es allí donde el vínculo más estrecho se puede descubrir entre la música y la Razón Áurea, con la Serie Fibonacci como mediadora. 

En la siguiente tabla podemos apreciar cómo, si utilizamos la Serie Fibonacci desplazada en la razón, tenemos intervalos que se aproximan cada vez más a la expansión decimal del Número Áureo: 

Como podemos apreciar en la tabla, los intervalos principales de octava y quinta justa están representados, y mientras más avanzamos en nuestra sucesión, más nos acercamos al valor decimal de Phi, o Razón Áurea. También podemos apreciar cómo los números de la Serie Fibonacci juegan un papel fundamental en las razones que gobiernan los intervalos principales,  en especial la 5ª justa:

Otra relación curiosa de la tabla, es que si tomamos como punto de partida la frecuencia del la 432 Hz, la frecuencia de la quinta justa resultante está dada por múltiplos de la aproximación de Phi con dos decimales: 1.62. 

Por otro lado, la quinta pura, que es más alta que la quinta temperada, está muy cerca de dividir la octava en su punto áureo, por lo que tenemos allí otra vinculación más entre uno de los intervalos principales y el Número Áureo. 

Como hemos visto, existen múltiples aproximaciones “áureas” a la música desde el punto de vista acústico, o de la naturaleza física del sonido, que están estrechamente vinculadas al concepto de grados principales y de consonancia musical, siendo los intervalos consonantes por excelencia el unísono, la 8ª, la 5ª justa y la 4ª justa (en ese orden aparecen en la serie armónica). 

No hemos tocado aquí, por razones de extensión, el punto muy relevante de los temperamentos, es decir, de los diversos sistemas de afinación que existen; ni tampoco, en el caso del círculo de quintas, el tema de la coma pitagórica y de la “quinta del lobo”. Esperamos extendernos más sobre el tema en un futuro ensayo. Sin duda que la afinación pitagórica, basada en quintas puras, y muy cercana a relaciones áureas, suena muy distinta a nuestra música moderna (y por moderna me refiero a los últimos 300 años aproximadamente) que está principalmente basada en el temperamento igual, en que la octava se divide en 12 semitonos de igual medida, por lo que las relaciones proporcionales entre los intervalos se pierden. Aunque, por otro lado, también es muy cierto que antes del siglo XX y de la estandarización del temperamento igual, los compositores e intérpretes hacían uso en sus composiciones e instrumentos de diversos temperamentos según el afecto que desearan transmitir. He ahí también un área de investigación muy fructífera.

Como conclusión a nuestra idea central, quisiéramos señalar que lo más relevante que hemos sacado en limpio de esta investigación, es la inesperada aparición de la Serie Fibonacci como “puente” entre la Razón Áurea y el sistema teórico musical occidental. El misterio de esta serie y del Número Áureo no deja de profundizarse, y emerge en los lugares más inesperados.

Por último, y a modo de curiosidad, quisiéramos volver sobre algo que mencionamos antes respecto a los compositores y su uso de la Razón Áurea en sus obras. Es sobre todo en las obras del compositor húngaro Béla Bartók en las que el uso de la Razón Áurea fue más deliberado, y además aplicado a diversos aspectos de la composición, tales como la estructura rítmica, la forma, y la organización de las alturas. Una de sus obras más conocidas, y que hace uso de esta técnica áurea, es la obra titulada “Música para Cuerdas, Percusión y Celesta”. Invitamos al lector a escucharla en el siguiente video, y a futuro esperamos extendernos sobre el tema en otro análisis. Por lo pronto citamos la página de Wikipedia sobre el tema:

https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%BAsica_para_cuerda,_percusi%C3%B3n_y_celesta

https://www.youtube.com/watch?v=HGJcsTtJ188

Es esta una obra de una belleza sutil y etérea, que en lo personal consideramos una de las grandes obras maestras de la música del siglo pasado. 

Otra de aquellas obras maestras del siglo XX que nos gustaría citar también como curiosidad, es el poema sinfónico del gran Richard Strauss “Also Sprach Zarathustra”, en el cual el maestro hace uso en la introducción de los intervalos fundamentales, que representan el Drama del Cosmos en la cosmovisión pitagórica: 8ª, 5ª y 4ª. La obra parte con un pedal de do de los instrumentos bajos (contrabajos, contrafagot y órgano), para luego emerger el famoso motivo ascendente de las trompetas, que señala la aparición del Cosmos a partir del Caos del sonido primordial del Universo. No es extraño entonces que el comienzo de esta obra haya calado tan profundo en el inconsciente colectivo de la humanidad. Creemos que se debe principalmente a que Strauss está describiendo nada menos que el Drama del Cosmos en un fragmento musical. El análisis de esta obra también merece un ensayo en sí mismo, pero no queremos dejar de mencionar el hecho de que al final, el compositor tiene otra ocurrencia genial, que es la de representar la superposición dos mundos, el mundo eterno y el mundo materia, a través de la superposición de acordes basados en los grados más lejanos armónicamente: do mayor (con tritono) y si mayor. Esta es realmente una obra maestra digna de analizarse desde un punto de vista esotérico.

https://www.youtube.com/watch?v=ETveS23djXM

Y la última curiosidad que nos gustaría mencionar es la de la aparición de otro inconmensurable en la música: la raíz cuadrada de 2. La raíz de 2 está expresada interválicamente en música por el tritono (tres tonos); el también llamado “diabolus in musica” o diablo en la música, debido a que se le consideraba un intervalo disonante, que debía ser evitado en la polifonía. Su historia también es muy nutrida y merece tratamiento aparte, pero como ejercicio práctico, proponemos al lector lo siguiente:

Haga el experimento de construir un tríangulo rectángulo con una cuerda de metal, enrollándola alrededor de tres clavos como vértices, y si se preocupa de que sea éste un triángulo rectángulo isósceles, es decir con catetos iguales, y pulsa la cuerda en uno de los catetos, y luego pulsa la cuerda en la hipotenusa, se dará cuenta de que la relación interválica entre ambos es la del tritono. Además el tritono, o sea la raíz de 2, divide exactamente por la mitad a la octava, por lo tanto la octava no se puede dividir exactamente en una razón, dado que la raíz de 2 es inconmensurable o irracional. 

La razón por la que este intervalo fue considerado “satánico” por la Iglesia Católica, y dicho de manera muy sucinta, fue debido a que se consideraba extremadamente disonante y contrario a las reglas del contrapunto y la armonía, en las que siempre se debía seguir los intervalos “divinos” que ya vimos, tales como octavas, quintas y cuartas, con la adición de terceras. 

Como hemos visto, las relaciones entre música y matemáticas son tan estrechas y profundas, que podríamos considerar a la música como un área de las matemáticas, o a las matemáticas como una forma de música. Dicho de forma más poética, la música es el arte de escuchar a los números, y las matemáticas una música sutil, intangible, arquetípica.

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